Proyecto - Portada Libro - Collar Tangencial

COLLAR DE ÁRBELOS O CADENA DE PAPPUS.

El apartado matemático gira entorno a la construcción de un collar basado en tangencias, el apartado de diseño, es una ilustración para la portada de un libro de Adrián Paenza titulado ‘Matemática… ¿Estás ahí’.

APARTADO MATEMÁTICO.

El triángulo curvilíneo que aparece en la siguiente imagen, formado por tres semicircunferencias mutuamente tangentes, con sus centros alineados sobre la misma recta era conocida entre los antiguos griegos como 'Árbelos', que significa 'Cuchilla de zapatero', por su similitud con la que utilizan esos profesionales para cortar cuero. Según parece, fue Arquímedes el que primero la estuda, y posteriormente, también es tratada por Pappus, Vieta, Descartes, Fermat, Newton , Steiner y McKay, y ya en el siglo XX, por Victor Thébault, Leon Bankoff, ClaytonW. Dodge, Thomas Schoch, Peter Y. Woo y Paul Yiu.

Considerando un segmento AB, y C un punto cualquiera de su interior trazamos los semicírculos de diámetros AB, AC y CB se obtenemos el árbelos.

Me propongo enumerar algunas de las numerosas propiedades del árbelos, relacionadas con los contenidos vistos en clases: Tangencias, arco capaz, el teorema de la altura, inversión, rectas tangentes exteriores a dos circunferencias.

Levantemos por C una perpendicular a AB hasta que corte a la circunferencia mayor en T. Unamos C con A y con B. Sean X e Y las intersecciones con las dos circunferencias pequeñas. Unamos X con Y, y sea O la intersección de las diagonales del cuadrilátero  CT y  XY.

1) EL ARCO CAPAZ - El cuadrilátero XCYT es un rectángulo.

Como los  ángulos AXC (α) = ATB (β) = CYB (γ) = 90º, por tratarse de ángulos inscritos que abarcan una semicircunferencia (Propiedad del arco capaz), XCYT es un rectángulo.

2) ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS - La recta XY es tangente a los círculos de diámetros AC y BC.

Para demostrar que XY es tangente a los dos círculos, es suficiente probar que XY es perpendicular a XD e YE. Siendo D y E los centros de los círculos de diámetros AC y CB. El radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia.

El triángulo formado por los vértices XDC, es isósceles, porque DX = DC, ambos son radios; y OXC es isósceles también, porque OX y OC son semidiagonales de un rectángulo. Siendo O el punto de intersección y el punto medio de las rectas diagonales XY y CT. Entonces tenemos que α = β, pasa lo mismo con los siguientes ángulos γ = δ. En definitiva, el ángulo DXY = α + γ = β + δ = DCT = 90º, pues la recta CT es perpendicular a AB. Análogamente se probaría que es tangente al de diámetro CB.

3) EL TEOREMA DE LA ALTURA - El área del árbelos es igual a la del círculo de diámetro CT.

Llamaremos r a la recta AO’ (Siendo O’ el punto medio del segmento AB), r1= AD y r2 = CE. Tenemos que AD + CE = AO’ ó r1 + r2 = r.

Por otro lado el área del árbelos= π/2 (r² - r1² - r2²) = π/2 ((r1-r2)² - r1² - r2²) = πr1r2.

Y ahora sí, el teorema de la altura (Es decir, la semejanza entre los triángulos rectángulos ACT (Azul) y BCT (Rojo) permite escribir: (CT/AC) = (CB/CT); CT² = AC x CB. Por tanto el área del círculo de diámetro CT vale: π (CT/2)² = (π/4) x CT² = (π/4) x AC x CB = (π/4) x 2r1 x 2r2 = πr1r2, idéntico al área del árbelos.

4) CIRCUNFERENCIA INTERIOR TANGENTE A OTRAS TRES CIRCUNFERENCIAS.

Si M y N son los puntos medios de los arcos AC y CB, con centro en M y radio MA se traza una circunferencia que pasa por A,C,Q y R; con centro en N y radio NB se traza otra circunferencia que pasa por B,C,P y R. Los tres puntos de tangencia buscados son P,Q y R. El círculo inscrito en el árbelos es el circunscrito a PQR.

5) CURIOSIDAD. Los círculos mellizos de Arquímedes: el inicio de una familia numerosa.

Arquímedes descubrió dos círculos inscritos en el árbelos que tienen el mismo radio (Trazo naranja).

En 1974, Leon Bankoff  encontró un trillizo (Trazo verde) y pronto el cuatrillizo (Trazo amarillo).

A partir del cuatrillizo, han seguido apareciendo nuevos círculos notables, hasta formar una familia infinita. Otro ejemplo es el mellizo (En rojo) del circulo de diámetro CT (Apartado 3), en el cual están inscritos los mellizos de Arquímedes.

6) CONSTRUCCIÓN DEL COLLAR O CADENA PAPPUS.

Partiendo de la figura del árbelos, lo primero que necesitamos es construir la circunferencia de inversión, para ello se traza desde C una recta (r, en rojo) perpendicular a AB, hasta que interseque  con el arco mayor, obteniendo el punto K. La circunferencia con radio AK (k, en azul), es la que utilizaremos para reflejar (o invertir), los puntos.

Trasladamos los puntos C, B y H, respecto al vector v (En naranja). Luego los reflejamos respecto a k para obtener C’k, H’k y B’k,  tres puntos (De tangencia), por los que pasa la segunda circunferencia, el segundo eslabón.

Para el segundo, trasladamos C’, B’ y H’, de nuevo respecto al vector v, obteniendo C’’, B’’ y H’’, estos los reflejamos y obtenemos los puntos C’’k, B’’k y H’’k, por los que pasa la tercera circunferencia.

7) RECTAS TANGENTES EXTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS.

Para lograr las rectas tangentes exteriores (s y r) a dos circunferencias (Una amarilla, con centro en 01 y otra verde oscuro, con centro en 02), comenzamos restando r1 (El radio pequeño) a r2 (El radio mayor) y así tenemos r3.

Trazamos una circunferencia de r3 concentro en 02 (Color verde claro). Y calculamos las rectas tangentes a esta nueva circunferencia con respecto a O1 (Centro de la circunferencia amarilla). Para ello localizamos la mitad del segmento 0102, el punto M, y desde M trazamos una circunferencia (Gris) de radio M01 o M02, ambos son radios y logramos donde corta a la circunferencia verde claro, los puntos de tangencia A y B.

Unimos A y B con O2, a continuación prolongamos las rectas hasta que corten a la circunferencia verde oscuro, obteniendo los puntos de tangencia C y D. Para hallar los puntos de tangencia en la circunferencia amarilla trazamos por C una paralela a O1A y tenemos E. De igual modo por D una paralela a O1B, y ahora también tenemos F. Para dibujar s unimos EC y para r FD.