PROYECTO – CARTEL – OIM

Teorema aplicado al diseño.

Mi enfoque sobre este proyecto es el siguiente: Realizar un cartel la OIM (Olimpiada Internacional de Matemática), anunciando y promocionando el evento para este año 2012 – 2013, utilizando el teorema de Bolzano.

Apartado de diseño:

Apartado matemático:

Teorema de Bolzano o teorema de los valores intermedios.

En análisis matemático el teorema del valor intermedio (o más correctamente teorema de los valores intermedios, o TVI), es un teorema sobre funciones continuas reales definidas sobre un intervalo. El resultado afirma que, si una función es continua en un intervalo, entonces toma todos los intermedios comprendidos entre los extremos del intervalo.

Enunciado:

Sea f una función continua en un intervalo [a,b]. Entonces para cada u tal que f (a) < u < f (b), existe al menos un c dentro de (a,b) tal que f (c) = u.

Enunciados equivalentes:

Si f es una función continua a valores reales definida sobre el intervalo [a,b], y u es un número entre f (a) y f (b), entonces existe un c perteneciente a [a,b] tal que f (c) = u.

Si f es una función continua en el [a,b], y f (a) tiene signo opuesto a f (b), existe un punto c, tal que su imagen es 0.

Como consecuencia del teorema de Weierstrass, se puede generalizar diciendo que la imagen de un intervalo es otro intervalo.

Historia:

El teorema fue demostrado por primera vez por Bernard Bolzano en 1817. Cauchy da una demostración en 1821.Ambos perseguían el fin de formalizar el análisis de funciones y el trabajo de Lagrange. La idea de que las funciones continuas poseen la propiedad del valor intermedio es de larga data. Simon Stevin probó el teorema del valor intermedio para polinomios por medio de un algoritmo para construir la expansión decimal de la solución: el algoritmo subdivide el intervalo iterativamente en 10 partes, lo que produce un dígito decimal adicional en cada paso de la iteración. Antes de que la definición formal de continuidad existiera, la propiedad del valor intermedio era dada como parte de la definición de función continua. Otros autores asumían que el resultado es intuitivamente obvio, por lo que no requiere de prueba. La visión de Bolzano y Cauchy fue la de definir una noción general de continuidad (en términos de infinitesimales en el caso de Cauchy, utilizando desigualdades reales en el caso de Bolzano), y la de proveer una prueba basada en tales definiciones.

El recíproco del teorema es falso. No es necesario que una función sea continua para que la conclusión del teorema de los valores intermedios sea cierta. En 1875, Darboux demuestra que las funciones que provienen de una derivada, sean continuas o no, poseen la propiedad de los valores intermedios.